【例题精讲】
两个长为2cm，宽为1cm的长方形，摆放在直线l上（如图①），CE=2cm，将长方形ABCD绕着点C顺时针旋转α角，将长方形EFGH绕着点E逆时针旋转相同的角度．
（1）当旋转到顶点D、H重合时，连接AE、CG，求证：△AED≌△GCD（如图②）． （2）当α=45°时（如图③），求证：四边形MHND为正方形．
证明：（1）如图②，②由题意知，AD=GD，ED=CD，②ADC=②GDE=90°，
AD＝GD②②ADC+②CDE=②GDE+②CDE，即②ADE=②GDC，在②AED与②GCD中，ADE＝GDC，
ED＝CD②②AED②②GCD（SAS）；
（2）如图②，②α=45°，BC②EH，②②NCE=②NEC=45°，CN=NE，②②CNE=90°，
②②DNH=90°，②②D=②H=90°，②四边形MHND是矩形，②CN=NE，②DN=NH，②矩形MHND是正方形． 【教师总结】四边形的旋转，可以构造全等三角形，在根据旋转的性质画出相应的图形，再综合其他知识解决.
【针对训练】
1、AB＝6，AD＝8，B的对应点为B′，如图，有一矩形纸片ABCD，如图1，将纸片折叠使AB落在AD边上，折痕为AE．如图2，再将△AB'E以B'E为折痕向右折叠，AE与CD交于点F．
（1）求的值；
（2）四边形EFDB′的面积为 ；
（3）如图3，将△A′DF绕点D旋转得到△MDN，点N刚好落在B′E上，A′的对应点为M，F的对应点为N，求点A'到达点M所经过的距离．
解：（1）∵将纸片折叠使AB落在AD边上，B的对应点为B′， ∴AB＝AB'，∠BAE＝∠B'AE，∠B＝∠B'＝90°， ∴四边形ABEB'为正方形， ∴△AB'E为等腰直角三角形， ∵AB＝6，AD＝8，
∴B'D＝AD﹣AB'＝8﹣6＝2， ∵将△AB'E以B'E为折痕向右折叠， ∴AB'＝A'B'＝6，∠A'＝∠A＝45°， ∴A'D＝DF＝6﹣2＝4， ∵CD＝AB＝6， ∴CF＝6﹣4＝2，
∴．
（2）由（1）可知B'D＝2，DF＝4，B'E＝6，
∴四边形EFDB′的面积＝×B'D＝（B'E+DF）×＝10．
故答案为：10．
（3）∵将△A′DF绕点D旋转得到△MDN， ∴DF＝DN＝4，∠NDM＝90°， ∵B'D＝2，∠NB'D＝90°， ∴∠B'ND＝30°， ∴∠B'DN＝60°，
∴∠A'DM＝90°﹣∠B'DN＝90°﹣60°＝30°，
∵△A′DF在绕点D旋转过程中，点A'到达点M所经过的路径是圆弧A'M，
∴的长为．
即点A'到达点M所经过的距离为．
2、已知线段AB，如果将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC，则称点C为线段AB关于点A的逆转点．点C为线段AB关于点A的逆转点的示意图如图1：
（1）如图2，在正方形ABCD中，点 为线段BC关于点B的逆转点；
（2）如图3，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x，0），且x＞0，点E是y轴上一点，点F是线段EO关于点E的逆转点，点G是线段EP关于点E的逆转点，过逆转点G，F的直线与x轴交于点H． ①补全图；
②判断过逆转点G，F的直线与x轴的位置关系并证明；
③若点E的坐标为（0，5），连接PF、PG，设△PFG的面积为y，直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
解：（1）由题意，点A是线段AB关于点B的逆转点， 故答案为A．
（2）①图形如图3所示．
②结论：GF⊥x轴．
理由：∵点F是线段EF关于点E的逆转点，点G是线段EP关于点E的逆转点， ∴∠OEF＝∠PEG＝90°，EG＝EP，EF＝EO， ∴∠GEF＝∠PEO， ∴△GEF≌△PEO（SAS）， ∴∠GFE＝∠EOP， ∵OE⊥OP，
∴∠POE＝90°， ∴∠GFE＝90°，
∵∠OEF＝∠EFH＝∠EOH＝90°， ∴四边形EFHO是矩形， ∴∠FHO＝90°， ∴FG⊥x轴．
③如图4﹣1中，当0＜x＜5时，
∵E（0，5）， ∴OE＝5，
∵四边形EFHO是矩形，EF＝EO， ∴四边形EFHO是正方形， ∴OH＝OE＝5，
∴y＝•FG•PH＝•x•（5﹣x）＝﹣x2+x． 如图4﹣2中，当x＞5时，
y＝•FG•PH＝•x•（x﹣5）＝x2﹣x．
综上所述，．
3、如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D为AC延长线上一点，连接DB，将DB绕点D逆时针旋转90°，得到线段DE，连接AE．
（1）如图①，当CD＝AC时，线段AB、AE、AD三者之间的数量关系式是AB+AE＝ AD． （2）如图②，当CD≠AC时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． （3）当点D在射线CA上时，其他条件不变，（1）中结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段AB、AE、AD三者之间的数量关系
式．
解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
∴CA＝BC，AC⊥BC，∠BAC＝45° ∵AC＝CD，BC⊥AC， ∴AB＝BD，
∴∠BAC＝∠BDC＝45°， ∴∠ABD＝90°，
∵将DB绕点D逆时针旋转90°，得到线段DE， ∴BD＝DE，∠BDE＝90°， ∴DE＝AB＝BD，AB∥DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，且∠ABD＝90°， ∴四边形ABDE是矩形，且AB＝BD， ∴四边形ABDE是正方形， ∴AB＝AE，AD＝∴AB+AE＝故答案为：
AD， ；
AB，
（2）结论仍然成立；
如图②过点D作DF∥BC交AB的延长线于点F，
∵BC∥DF，
∴∠ADF＝∠ACB＝90°，∠F＝∠ABC＝45°， ∴∠F＝∠DAF＝45°， ∴AD＝DF， ∴AF＝
AD，
∵∠ADF＝∠EDB＝90°，
∴∠ADE＝∠BDF，且DE＝DB，AD＝DF， ∴△ADE≌△FDB（SAS）， ∴AE＝BF，
∴AB+AE＝AB+BF＝AF＝（3）不成立，
当点D在线段AC上时，如图③，过点D作DF∥BC，
AD；
∴∠AFD＝∠ABC＝45°，∠ACB＝∠ADF＝90°， ∴∠DAF＝∠AFD＝45°， ∴AD＝DF，AF＝
AD，
∵∠EDB＝90°＝∠ADF，
∴∠ADE＝∠BDF，且AD＝DF，DE＝BD ∴△ADE≌△FDB（SAS） ∴AE＝BF， ∵AB﹣BF＝AF， ∴AB﹣AE＝
AD；
当点D在CA的延长线上时，如图④，过点D作DF∥BC，交BA延长线于点F，
∴∠AFD＝∠ABC＝45°，∠ACB＝∠ADF＝90°， ∴∠DAF＝∠AFD＝45°， ∴AD＝DF，AF＝
AD，
∵∠EDB＝90°＝∠ADF，
∴∠FDB＝∠EDA，且AD＝DF，DE＝BD ∴△ADE≌△FDB（SAS） ∴AE＝BF， ∵AB+AF＝BF， ∴AB+
AD＝AE．
4、如图，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，将BC绕点C顺时针旋转90°得CG，DG交EC于O点
（1）求证：DO＝OG；
（2）若∠ABC＝135°，AC＝2，求DG的长；
（3）若∠ABC＝90°，BC＞AB，且＝时，直接写出的值．
解：（1）如图1，延长CB交DE于H．
∵∠ABC+∠ABH＝180°，∠ABC＝∠ADH， ∴∠ADH+∠ABH＝180°， ∴∠DAB+∠DHB＝180°， ∵∠DAB＝90°， ∴∠DHB＝90°，
∴∠DHB＝∠HCG＝90°， ∴DE∥CG，
∴∠EDO＝∠G，
∵DE＝BC＝CG，∠DOE＝∠GOC， ∴△DOE≌△GOC（AAS）， ∴EO＝OC．
（2）如图2，连接EG，BD，
由旋转知，AD＝AB，∠BAD＝90°， ∴∠ABD＝45°， ∵∠ABC＝135°， ∴∠ABD+∠ABC＝180°， ∴点D，B，C在同一条直线上， 由（1）知，∠EDG＝∠CGD， ∴DE∥CG， ∵DE＝CG，
∴四边形CDEG是平行四边形， ∵将BC绕点C顺时针旋转90°得CG， ∴∠DCG＝90°，
∴平行四边形CDEG是矩形， ∴DG＝CE，
由旋转知，∠CAE＝90°，AE＝AC＝2， ∴CE＝∴DG＝2
AC＝2，
，
（3）如图3，延长DA，CG相交于点F，
由旋转知，∠BAD＝∠BCG＝90°， ∴∠BAF＝∠BCF＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴四边形ABCF是矩形， ∴AF＝BC，CF＝AB， ∴FD＝FG，
在Rt△DFG中，DG＝
DF＝
（AD+AF）＝
（AB+BC），
在RtACF中，AF2+CF2＝AC2， ∴AB2+BC2＝AC2，
∵＝，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∴2AB2﹣5AB•BC+2BC2＝0， ∴（2AB﹣BC）（AB﹣2BC）＝0， ∴2AB﹣BC＝0或AB﹣2BC＝0，
∴＝或＝2（舍弃），
故答案为：．
5、如图乙，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点P为射线BD，CE的交点．
（1）如图甲，将△ADE绕点A旋转，当C、D、E在同一条直线上时，连接BD、BE，则下列给出的四个结论中，其中正确的是哪几个 ．（回答直接写序号）
①BD＝CE； ②BD⊥CE； ③∠ACE+∠DBC＝45°； ④BE2＝2（AD2+AB2） （2）若AB＝6，AD＝3，把△ADE绕点A旋转： ①当∠CAE＝90°时，求PB的长；
②直接写出旋转过程中线段PB长的最大值和最小值．
（1）解：如图甲：
①∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE． 在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE，∴①正确． ②∵△ABD≌△ACE， ∴∠ABD＝∠ACE． ∵∠CAB＝90°， ∴∠ABD+∠AFB＝90°，
∴∠ACE+∠AFB＝90°． ∵∠DFC＝∠AFB， ∴∠ACE+∠DFC＝90°， ∴∠FDC＝90°． ∴BD⊥CE，∴②正确． ③∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠ABC＝45°， ∴∠ABD+∠DBC＝45°．
∴∠ACE+∠DBC＝45°，∴③正确． ④∵BD⊥CE， ∴BE2＝BD2+DE2，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE， ∴DE2＝2AD2，BC2＝2AB2， ∵BC2＝BD2+CD2≠BD2， ∴2AB2＝BD2+CD2≠BD2，
∴BE2≠2（AD2+AB2），∴④错误． 故答案为①②③．
（2）①解：a、如图乙﹣1中，当点E在AB上时，BE＝AB﹣AE＝3．
∵∠EAC＝90°，
∴CE＝＝＝3，
同（1）可证△ADB≌△AEC． ∴∠DBA＝∠ECA． ∵∠PEB＝∠AEC， ∴△PEB∽△AEC．
∴＝，
∴＝，
∴PB＝．
b、如图乙﹣2中，当点E在BA延长线上时，BE＝9．
∵∠EAC＝90°，
∴CE＝＝＝3，
同（1）可证△ADB≌△AEC． ∴∠DBA＝∠ECA． ∵∠BEP＝∠CEA， ∴△PEB∽△AEC，
∴＝，
∴＝，
∴PB＝．
综上，PB＝或．
②解：a、如图乙﹣3中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A上方与⊙A相切时，PB的值最大．
理由：此时∠BCE最大，因此PB最大，（△PBC是直角三角形，斜边BC为定值，∠BCE最大，因此PB最大） ∵AE⊥EC，
∴EC＝＝
＝3，
由（1）可知，△ABD≌△ACE， ∴∠ADB＝∠AEC＝90°，BD＝CE＝3∴∠ADP＝∠DAE＝∠AEP＝90°， ∴四边形AEPD是矩形， ∴PD＝AE＝2， ∴PB＝BD+PD＝3
+3．
+3．
，
综上所述，PB长的最大值是3
b、如图乙﹣4中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A下方与⊙A相切时，PB的值最小．
理由：此时∠BCE最小，因此PB最小，（△PBC是直角三角形，斜边BC为定值，∠BCE最小，因此PB最小） ∵AE⊥EC，
∴EC＝＝＝3，
由（1）可知，△ABD≌△ACE， ∴∠ADB＝∠AEC＝90°，BD＝CE＝3∴∠ADP＝∠DAE＝∠AEP＝90°， ∴四边形AEPD是矩形， ∴PD＝AE＝4，
，
∴PB＝BD﹣PD＝3﹣3．
﹣3．
综上所述，PB长的最小值是3
6、如图1，在等腰直角△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝3，在边AB上取一点D（点D不与点A，B重合），在边AC上取一点E，使AE＝AD，连接DE．把△ADE绕点A逆时针方向旋转α（0°＜α＜360°），如图2．
（1）请你在图2中，连接CE和BD，判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由； （2）请你在图3中，画出当α＝45°时的图形，连接CE和BE，求出此时△CBE的面积；
（3）若AD＝1，点M是CD的中点，在△ADE绕点A逆时针方向旋转的过程中，线段AM的最小值是 ．
解：（1）如图1中，连接EC，BD．结论：BD＝CE．
理由：∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAD＝∠CAE， ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴△ADB≌△AEC（SAS）． ∴BD＝CE．
（2）如图2中，
由题意：∠CAE＝45°， ∵AC＝AB，∠CAB＝90°， ∴∠ACB＝∠ABC＝45°， ∴AE∥BC．
∴△CBE的面积与△ABC的面积相等． ∵△ABC的面积为4.5， ∴△CBE的面积4.5．
（3）如图3中，延长AM到N，使得MN＝AM，连接CN，DM．
∵AM＝MN，CM＝MD， ∴四边形ADNC是平行四边形， ∴AD＝CN＝1， ∵AC＝3， ∴3﹣1≤AN≤3+1， ∴2≤2AM≤4， ∴1≤AM≤2， ∴AM的最小值为1． 故答案为1． 7、综合与实践 问题情境
数学活动课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展数学活动，△ABC和△DEC是两个全等的直角三角形纸片，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝∠E＝30°，AB＝DE＝4． 解决问题
（1）如图①，智慧小组将△DEC绕点C顺时针旋转，发现当点D恰好落在AB边上时，DE∥AC，请你
帮他们证明这个结论；
（2）缜密小组在智慧小组的基础上继续探究，连接AE、AD、BD，当△DEC绕点C继续旋转到如图②所示的位置时，他们提出S△BDC＝S△AEC，请你帮他们验证这一结论是否正确，并说明理由； 探索发现
（3）如图③，勤奋小组在前两个小组的启发下，继续旋转△DEC，当B、A、E三点共线时，求BD的长；
（4）在图①的基础上，写出一个边长比为1：
：2的三角形（可添加字母）
解：（1）如图①中，∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上， ∴AC＝CD，
∵∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°， ∴△ACD是等边三角形， ∴∠ACD＝60°，
又∵∠CDE＝∠BAC＝60°， ∴∠ACD＝∠CDE，
∴DE∥AC；
（2）如图②中，作DM⊥BC于M，AN⊥EC交EC的延长线于N． ∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到 ∴BC＝CE，AC＝CD，
∵∠ACN+∠BCN＝90°，∠DCM+∠BCN＝180°﹣90°＝90°， ∴∠ACN＝∠DCM， 在△ACN和△DCM中，
，
∴△ACN≌△DCM（AAS）， ∴AN＝DM，
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等）， 即S△BDC＝S△AEC．
（3）如图③中，作CH⊥AD于H．
∵∴AC＝CD＝AB＝2，
∵B，A，E共线， ∴∠BAC+∠EAC＝180°， ∴∠EAC＝120°， ∵∠EDC＝60°，
∴∠EAC+∠EDC＝180°， ∴A，E，D，C四点共圆，
∴∠CAD＝∠CED＝30°，∠BAD＝90°， ∵CA＝CD，CH⊥AD， ∴AH＝DH＝AC•cos30°＝∴AD＝2
，
，
∴BD＝＝＝2．
（4）如图①中，设DE交BC于T． 因为含有30°的直角三角形的三边之比为1：
：2，
由（1）可知△BDT，△DCT，△ECT都是含有30°的直角三角形， ∴△BDT，△DCT，△ECT符合条件．
8、已知△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠BED＝90°，AB＝2BD，连接CE． （1）如图1，若点D在AB边上，点F是CE的中点，连接BF．当AC＝4时，求BF的长；
（2）如图2，将图1中的△BDE绕点B按顺时针方向旋转，使点D在△ABC的内部，连接AD，取AD的中点M，连接EM并延长至点N，使MN＝EM，连接CN．求证：CN⊥CE．
解：（1）∵△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠BED＝90°，
∴AC＝BC＝4，AB＝∵AB＝2BD， ∴AD＝BD＝2∴BE＝2，
，
AC＝4，DE＝BE，DB＝BE，∠ABC＝45°，∠DBE＝45°，
∵∠CBE＝∠ABC+∠DBE＝90°，
∴CE＝＝＝2，
∵点F是CE的中点，
∴BF＝CE＝；
（2）如图，连接AN，设DE与AB交于点H，
∵点M是AD中点， ∴AM＝MD，
又∵MN＝ME，∠AMN＝∠DME， ∴△AMN≌△DME（SAS）， ∴AN＝DE，∠MAN＝∠ADE， ∴AN∥DE，
∴∠NAH+∠DHA＝180°，
∵∠NAH＝∠NAC+∠CAB＝∠NAC+45°+∠DBH， ，∠DHA＝∠EDB+∠DBH＝45°∴∠NAC+45°+45°+∠DBH＝180°， ∴∠NAC+∠DBH＝90°，
∵∠CBA+∠DBE＝45°+45°＝90°， ∴∠CBE+∠DBH＝90°， ∴∠CBE＝∠NAC，
又∵AC＝BC，AN＝DE＝BE， ∴△ACN≌△BCE（SAS）， ∴∠ACN＝∠BCE， ∵∠BCE+∠ACE＝90°， ∴∠ACN+∠ACE＝90°＝∠NCE， ∴CN⊥CE．
9、如图，已知点A （0，8），B （16，0），点P是x轴上的一个动点（不与原点O重合），连结AP，把△OAP沿着AP折叠后，点O落在点C处，连结PC，BC，设P（t，0）． （1）如图1，当AP∥BC时，试判断△BCP的形状，并说明理由． （2）在点P的运动过程中，当∠PCB＝90°时，求t的值．
（3）如图2，过点B作BH⊥直线CP，垂足为点H，连结AH，在点P的运动过程中，是否存在AH＝BC？若存在，求出t的值：若不存在，请说明理由．
解：（1）等腰三角形， 理由如下：∵AP∥BC，
∴∠APC＝∠BCP，∠APO＝∠CBP，∵△OAP沿着AP折叠， ∴∠APO＝∠APC， ∴∠PCB＝∠PBC， ∴PC＝PB，
∴△BCP是等腰三角形； （2）当t＞0时，如图，
∵△OAP沿着AP折叠，
∴∠AOP＝∠ACP＝90°，OP＝PC＝t，
∴∠ACP+∠BCP＝180°， ∴点A，点C，点B三点共线， ∵点A （0，8），B （16，0）， ∴OA＝8，OB＝16，
∴AB＝＝＝8，
∵tan∠ABO＝，
∴，
∴t＝4﹣4；
当t＜0时，如图，
同理可求：t＝﹣4﹣4；
（3）∵△OAP沿着AP折叠， ∴AC＝AO＝8，∠ACP＝∠AOP＝90°， ∵BH⊥CP，
∴∠ACP＝∠BHC＝90°，
∵AH＝BC，CH＝CH， ∴Rt△ACH≌Rt△BHC（HL） ∴AC＝BH，
∴四边形AHBC是平行四边形，
如图2，当0≤t≤16时，点H在PC上时，连接AB交CH于G，
∵四边形AHBC是平行四边形， ∴AG＝BG＝4
，HG＝CG，AC＝BH＝8，
∴HG＝＝＝4，
在Rt△PHB中，PB2＝BH2+PH2， ∴（16﹣t）2＝64+（t﹣8）2， ∴t＝8；
如图3，当0≤t≤16时，点H在PC的延长线上时，
∵四边形AHBC是平行四边形， ∴AG＝BG＝4
，HG＝CG，AC＝BH＝8，
∴HG＝＝＝4，
在Rt△PHB中，PB2＝BH2+PH2， ∴（16﹣t）2＝64+（t+8）2，
∴t＝；
如图4，当t＜0时，
同理可证：四边形ABHC是平行四边形， 又∵AH＝BC，
∴四边形ABHC是矩形， ∴AC＝BH＝8，AB＝CH＝4
，
在Rt△PHB中，PB2＝BH2+PH2， ∴（16﹣t）2＝64+（t+8∴t＝16﹣8
；
）2，
当t＞16时，如图5，
∵四边形ABHC是矩形， ∴AC＝BH＝8，AB＝CH＝8
，CP＝OP＝t，
在Rt△PHB中，PB2＝BH2+PH2， ∴（t﹣16）2＝64+（t﹣8∴t＝16+8
．
）2，
综上所述：当t＝8或或16﹣8或16+8时，存在AH＝BC．
10、问题情境：
数学活动课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展数学活动，△ABC和△DEC是两个全等的直
角三角形纸片，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝∠E＝30°，AB＝DE＝4． 解决问题：
（1）如图1，智慧小组将△DEC绕点C顺时针旋转，发现当点D恰好落在AB边上时，DE∥AC，请你帮他们证明这个结论；
（2）缜密小组在智慧小组的基础上继续探究，当△DEC绕点C继续旋转到如图2所示的位置时，连接AE、AD、BD，他们提出S△BDC＝S△AEC，请你帮他们验证这一结论是否正确，并说明理由．
解：（1）如图1中，∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上， ∴AC＝CD，
∵∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°， ∴△ACD是等边三角形， ∴∠ACD＝60°，
又∵∠CDE＝∠BAC＝60°， ∴∠ACD＝∠CDE， ∴DE∥AC；
（2）结论正确，
理由如下：如图2中，作DM⊥BC于M，AN⊥EC交EC的延长线于N．
∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到， ∴BC＝CE，AC＝CD，
∵∠ACN+∠BCN＝90°，∠DCM+∠BCN＝180°﹣90°＝90°， ∴∠ACN＝∠DCM， 在△ACN和△DCM中，
，
∴△ACN≌△DCM（AAS）， ∴AN＝DM，
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等）， 即S△BDC＝S△AEC．
11、如图，△ABC中AB＝AC＝5，tan∠ACB＝，点D为边BC上的一动点（不与点B、C重合），将线
段AD绕点A顺时针旋转得AE，使∠DAE＝∠BAC，DE与AB交于点F，连接BE． （1）求BC的长； （2）求证∠ABE＝∠ABC； （3）当FB＝FE时，求CD的长．
解：（1）如图，过点A作AH⊥BC于点H，
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝CH＝BC，
∵tan∠ACB＝＝，
∴设AH＝3k（k＞0），CH＝4k， ∵AC2＝AH2+CH2， ∴9k2+16k2＝25， ∴k＝1， ∴HC＝4， ∴BC＝2CH＝8；
（2）∵∠DAE＝∠BAC， ∴∠DAC＝∠BAE，
∵将线段AD绕点A顺时针旋转得AE， ∴AE＝AD， 又∵AB＝AC，
∴△AEB≌△ADC（SAS）， ∴∠ABE＝∠ACD， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACD， ∴∠ABE＝∠ABC； （3）∵AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE＝（180°﹣∠DAE），
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC），
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠ADE＝∠AED＝∠ABC＝∠ACB， ∴∠ABE＝∠ABC＝∠ADE， 又∵∠BFE＝∠DFA， ∴∠BEF＝∠DAF， ∵FB＝FE，
∴∠FBE＝∠FEB，
∴∠DAF＝∠ADF＝∠FBE＝∠FEB， ∴∠DAF＝∠ABC＝∠ACB， 又∵∠ABC＝∠ABD， ∴△BAD∽△BCA，
∴
∴BD＝＝，
∴CD＝BC﹣BD＝8﹣＝．
12、（1）如图1，O是等边三角形ABC内一点，连接OA，OB，OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD． 填空：①旋转角为 °； ②线段OD的长是 ； ③∠BDC＝ °；
（2）如图2，O是△ABC内一点，且∠ABC＝90°，BA＝BC．连接OA，OB，OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA，OB，OC满足什么条件时，∠BDC＝135°？请说明理由．
解：（1）①∵△ABC为等边三角形， ∴BA＝BC，∠ABC＝60°，
∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD， ∴∠OBD＝∠ABC＝60°， ∴旋转角的度数为60°；
②∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD， ∴BO＝BD， 而∠OBD＝60°， ∴△OBD为等边三角形； ∴OD＝OB＝4；
③∵△BOD为等边三角形， ∴∠BDO＝60°，
∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD， ∴CD＝AO＝3，
在△OCD中，CD＝3，OD＝4，OC＝5， ∵32+42＝52， ∴CD2+OD2＝OC2，
∴△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°， ∴∠BDC＝∠BDO+∠ODC＝60°+90°＝150°； 故答案为：60；4；150；
（2）OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°，理由如下：
∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD， ∴∠OBD＝∠ABC＝90°，BO＝BD，CD＝AO， ∴△OBD为等腰直角三角形， ∴OD＝
OB，
∵当CD2+OD2＝OC2时，△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°， ∴OA2+2OB2＝OC2，
∴当OA、OB、OC满足OA2+2OB2＝OC2时，∠BDC＝135°．
12、在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝α，点D为直线BC上一动点，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，将AD绕点D顺时针旋转α得到ED，ED交直线AB于点O，连接BE．
（1）问题发现：
如图1，α＝90°，点D在边BC上，猜想： ①AF与BE的数量关系是 ； ②∠ABE＝ 度． （2）拓展探究：
如图2，0°＜α＜90°，点D在边BC上，请判断AF与BE的数量关系及∠ABE的度数，并给予证明． （3）解决问题
如图3，90°＜α＜180°，点D在射线BC上，且BD＝3CD，若AB＝8，请直接写出BE的长． 解：（1）问题发现：
如图1中，设AB交DE于O．
∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠ABC＝45°， ∵DF∥AC，
∴∠FDB＝∠C＝90°， ∴∠DFB＝∠DBF＝45°， ∴DF＝DB，
∵∠ADE＝∠FDB＝90°， ∴∠ADF＝∠EDB， ∵DA＝DE，DF＝DB ∴△ADF≌△EDB（SAS）， ∴AF＝BE，∠DAF＝∠E， ∵∠AOD＝∠EOB，
∴∠ABE＝∠ADO＝90° 故答案为：AF＝BE，90°． （2）拓展探究：
结论：AF＝BE，∠ABE＝α．理由如下：
∵DF‖AC
∴∠ACB＝∠FDB＝α，∠CAB＝∠DFB， ∵AC＝BC， ∴∠ABC＝∠CAB， ∴∠ABC＝∠DFB， ∴DB＝DF，
∵∠ADF＝∠ADE﹣∠FDE，∠EDB＝∠FDB﹣∠FDE， ∴∠ADF＝∠EDB， ∵AD＝DE，DB＝DF ∴△ADF≌△EDB（SAS）， ∴AF＝BE，∠AFD＝∠EBD
∵∠AFD＝∠ABC+∠FDB，∠DBE＝∠ABD+∠ABE， ∴∠ABE＝∠FDB＝α．
（3）解决问题
①如图（3）中，当点D在BC上时，
由（2）可知：BE＝AF， ∵DF∥AC，
∴，
∵AB＝8， ∴AF＝2， ∴BE＝AF＝2，
②如图（4）中，当点D在BC的延长线上时，
∵AC∥DF，
∴，
∵AB＝8， ∴BE＝AF＝4，
故BE的长为2或4．
13、如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB上一点，连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°至CE，连接AE． （1）求证：△BCD≌△ACE； （2）如图2，连接ED，若CD＝2
，AE＝1，求AB的长；
（3）如图3，若点F为AD的中点，分别连接EB和CF，求证：CF⊥EB．
解：（1）由旋转可得EC＝DC，∠ECD＝90°＝∠ACB， ∴∠BCD＝∠ACE， 又∵AC＝BC，
∴△BCD≌△ACE（SAS）；
（2）由（1）可知AE＝BD＝1，∠CAE＝∠B＝45°＝∠CAB， ∴∠EAD＝90°，
∴，
∴．
∴；
（3）如图，过C作CG⊥AB于G，则AG＝AB，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴CG＝AB，即＝，
∵点F为AD的中点，
∴FA＝AD，
∴FG＝AG﹣AF
＝AB﹣AD＝（AB﹣AD）＝BD，
由（1）可得：BD＝AE，
∴FG＝AE，即＝，
∴＝，
又∵∠CGF＝∠BAE＝90°， ∴△CGF∽△BAE， ∴∠FCG＝∠ABE， ∵∠FCG+∠CFG＝90°， ∴∠ABE+∠CFG＝90°， ∴CF⊥BE．
14、E分别是边BC，AC的中点，连接DE．如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，BC＝4，点D，将△EDC绕点C按逆时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）问题发现
①当α＝0°时，＝ ；
②当α＝180°时，＝ ．
（2）拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
（3）问题解决
当△EDC旋转至DE∥AC时，请直接写出BD的长．
解：（1）①当α＝0°时，
∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，BC＝4，
∴AB＝，
∴AC＝，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴BD＝CD＝BC＝2，AE＝CE＝AC＝，
∴；
故答案为：．
②如图1，
，
当α＝180°时，
∵将△EDC绕点C按逆时针方向旋转，
∴CD＝2，CE＝，
∴AE＝AC+CE＝4，BD＝BC+CD＝6，
∴．
故答案为：．
（2）当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，
∵∠ECD＝∠ACB， ∴∠ECA＝∠DCB，
又∵CE＝，CD＝2，AC＝，BC＝4，
∴，
∴△ECA∽△DCB，
∴．
（3）2或2．
①如图3，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，
∵DE∥AC，
∴∠DCA＝∠EDC＝90°， ∵∠ACB＝30°， ∴∠DCF＝60°， ∵DC＝2， ∴CF＝1，DF＝
，
∴BF＝1+4＝5，
∴＝＝2；
②如图4，过点D作DF⊥BC交BC于点F，
同理可得，CF＝1，DF＝∴BF＝3，
，
∴BD＝＝2．
故BD的长为2
15、（1）问题发现
或2．
∠BAC＝30°∠ABC＝90°如图1，在Rt△ABC中，，，将线段AC绕点A逆时针旋转，旋转角α＝2∠BAC，∠BCD的度数是 ；线段BD，AC之间的数量关系是 ． （2）类比探究
在Rt△ABC中，∠BAC＝45°，∠ABC＝90°，将线段AC绕点A逆时针旋转，旋转角α＝2∠BAC，请问（1）中的结论还成立吗？ （3）拓展延伸
如图3，在Rt△ABC中，AB＝2，AC＝4，∠BAC＝90°，若点P满足PB＝PC，∠BPC＝90°，请直接写出线段AP的长度．
解：（1）∵在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝90°， ∴∠ACB＝60°，
∵将线段AC绕点A逆时针旋转，旋转角α＝2∠BAC， ∴∠CAD＝α＝2∠BAC＝60°，AC＝AD， ∴△ACD是等边三角形， ∴∠ACD＝60°，
∴∠BAD＝90°，∠BCD＝120°，
∵在Rt△ABC中，AB＝AC，
∴BD2＝AB2+AD2＝（AC）2+AC2＝AC2，
即线段BD，AC之间的数量关系是BD＝AC；
故答案为：120°，BD＝AC；
（2）不成立，
理由：在Rt△ABC中，∠BAC＝45°，∠ABC＝90°， ∴∠ACB＝45°，
∵将线段AC绕点A逆时针旋转，旋转角α＝2∠BAC，
∴∠CAD＝α＝2∠BAC＝90°，AC＝AD， ∴△ACD是等腰直角三角形， ∴∠ACD＝45°， ∴∠BCD＝90°，
∵在Rt△ABC中，AB＝BC＝AC，
在Rt△ACD中，CD＝AC，
∴BD2＝BC2+CD2＝（AC）2+（AC）2＝AC2，
即线段BD，AC之间的数量关系是BD＝AC；
（3）如图3，作PE⊥AC于E，连接PA， ∵在Rt△ABC中，AB＝2，AC＝4，∠BAC＝90°，
∴BC＝＝2，
∵∠BPC＝90°，PB＝PC， ∴PB＝PC＝
，∠PBC＝∠PCB＝45°，
∵∠BAC＝∠BPC＝90°， ∴点B，C，P，A四点共圆， ∴∠PAE＝45°，
∴△PAE是等腰直角三角形， ∴PE＝AE， ∴CE＝4﹣AE， ∵PE2+CE2＝PC2，
∴PE2+（4﹣PE）2＝10， ∴PE＝1，PE＝3， ∴PA＝
或PA＝3
； 或3
．
故线段AP的长度为
16、综合与实践 问题情境
数学活动课上，老师让同学们以“三角形平移与旋转”为主题开展数学活动，△ACD和△BCE是两个等边三角形纸片，其中，AC＝5cm，BC＝2cm． 解决问题
（1）勤奋小组将△ACD和△BCE按图1所示的方式摆放（点A，C，B在同一条直线上），连接AE，BD．发现AE＝DB，请你给予证明；
（2）如图2，创新小组在勤奋小组的基础上继续探究，将△BCE绕着点C逆时针方向旋转，当点E恰好落在CD边上时，求△ABC的面积； 拓展延伸
“将△BCE沿CD方向平移acm，（3）如图3，缜密小组在创新小组的基础上，提出一个问题：得到B'C'E'，连接AB'，B'C，当△AB'C恰好是以AB'为斜边的直角三角形时，求a的值．请你直接写出a的值．
解：（1）如图1中，
∵△ADC，△BEC都是等边三角形， ∴CA＝CD，CE＝CB，∠ACD＝∠ECB， ∴△ACE≌△DCB（SAS）， ∴AE＝BD．
（2）如图2中，过点B作BH⊥AC交AC的延长线于H．
∵∠ACB＝∠ECB＝60°，
∴∠BCH＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∵BH⊥CH， ∴∠H＝90°， ∴BH＝BC•sin60°＝
（cm），
＝
．
∴S△ABC＝•AC•BH＝×5×
（3）如图3中，
由题意∠ACB′＝90°， ∴∠ACD＝60°， ∴∠E′CB′＝30°， ∵∠CE′B′＝60°， ∴∠CB′E′＝90°， ∴CB′＝E′B′•tan60°＝2
，
在Rt△ACB′中，AB′＝＝＝．
17、如图，有一矩形纸片ABCD，AB＝6，AD＝8，如图1，将纸片折叠使AB落在AD边上，B的对应点为
B′，折痕为AE．如图2，再将△AB'E以B'E为折痕向右折叠，AE与CD交于点F． （1）求
的值；
（2）四边形EFDB′的面积为 ；
（3）如图3，将△A′DF绕点D旋转得到△MDN，点N刚好落在B′E上，A′的对应点为M，F的对应点为N，求点A'到达点M所经过的距离．
解：（1）∵将纸片折叠使AB落在AD边上，B的对应点为B′， ∴AB＝AB'，∠BAE＝∠B'AE，∠B＝∠B'＝90°， ∴四边形ABEB'为正方形， ∴△AB'E为等腰直角三角形， ∵AB＝6，AD＝8，
∴B'D＝AD﹣AB'＝8﹣6＝2， ∵将△AB'E以B'E为折痕向右折叠， ∴AB'＝A'B'＝6，∠A'＝∠A＝45°， ∴A'D＝DF＝6﹣2＝4， ∵CD＝AB＝6， ∴CF＝6﹣4＝2，
∴．
（2）由（1）可知B'D＝2，DF＝4，B'E＝6，
∴四边形EFDB′的面积＝×B'D＝（B'E+DF）×＝10．
故答案为：10．
（3）∵将△A′DF绕点D旋转得到△MDN， ∴DF＝DN＝4，∠NDM＝90°， ∵B'D＝2，∠NB'D＝90°， ∴∠B'ND＝30°， ∴∠B'DN＝60°，
∴∠A'DM＝90°﹣∠B'DN＝90°﹣60°＝30°，
∵△A′DF在绕点D旋转过程中，点A'到达点M所经过的路径是圆弧A'M，
∴的长为．
即点A'到达点M所经过的距离为．
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